Juro Composto

O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro.

Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao mês. Qual será o valor ao final da aplicação?

A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros compostos.



No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.

Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:

M = C * (1 + i)^t, onde:
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: tempo de aplicação

Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de uma calculadora científica.

Exemplo 2
Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?

C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses

M = C * (1 + i)^t
M = 7000 * (1 + 0,015)¹²
M = 7000 * (1,015)¹²
M = 7000 * 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.

Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante.

Exemplo 3
Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43?

M: R$ 15.237,43
t: 10
i: 2% a.m. = 2/100 = 0,02

M = C * (1 + i)^t
15237,43 = C * (1 + 0,02)¹⁰
15237,43 = C * (1,02)¹⁰
15237,43 = C * 1,218994
C = 15237,43 / 1,218994
C = 12500,00

O capital é de R$ 12.500,00.


Calculando a taxa de juros da aplicação.

Exemplo 4
Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que gerou o montante de R$ 10.145,93?

C: R$ 8.000,00
M: R$ 10.145,93
t: 12
i: ?


A taxa de juros da aplicação foi de 2%.


Calculando o tempo da aplicação. (Uso de técnicas de logaritmo)

Exemplo 5
Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês, para que produza um montante de R$ 1.444,89?

C: R$ 800,00
M: R$ 1.444,89
i: 3% a.m.= 3/100 = 0,03
t: ?

1.444,89 = 800 * (1 + 0,03)^t
1.444,89 = 800 * 1,03^t
1.444,89/800 = 1,03^t
1,03^t = 1,806     (aplicar propriedade dos logaritmos)
log1,03^t = log1,806
t * log1,03 = log1,806
t * 0,013 = 0,257
t = 0,257/0,013
t = 20

O capital deverá ficar aplicado por 20 meses.

Exercício de Juro Simples

1. Calcular o valor dor Juros e do Montante de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita à taxa de 3,64% ao mês, pelo prazo de 32 dias.

Exercício 1
Capital	21150
Taxa	0,04
Tempo	1,07
Juros	?
Montante	?
Juro	821,18
Montante	21971,18

Taxa = 3,64/100 = 0,0364

Tempo = 32/30 = 1,066666667

J = C*i*n

J = 21150 *0,0364*1,066666667

J = 821,184

M = C + J

M = 21150 + 821,184

M = 21971,184

2. Um título foi financiado para pagamento em 120 dias da data de emissão com uma taxa de 3,5% ao mês. Sabe-se que este título foi pago com 10 dias de atraso pelo valor de R$ 978,56. Sabendo-se que a taxa praticada para cálculos dos juros do atraso era de 50% ao ano. Qual o valor do título?

Exercício 2
Cálculo 1
Capital	?
Taxa	0,001388889
Tempo	10
Montante	978,56
Capital	965,16
Cálculo 2
Capital	?
Taxa	0,035000000
Tempo	4
Montante	965,155068500
Capital	864,627253100

Cálculo 1

Taxa = 50% ano

Taxa = 50/360 = 0,13889/100 = 0,001388889

C = M/(1+i*n)

C = 978,56/(1+0,001388889*10)

C = 965,1550685

Cálculo 2

Taxa = 3,5% ao mês

Taxa = 3,5/100 = 0,035

Tempo = 120 dias = 4 meses

C = M/(1+i*n)

C = 965,1550685/(1+0,035*4)

C = 846,6272531

3. Qual a taxa anual que uma determinada instituição paga, sendo que um capital de R$ 1.750,00 durante 3 anos, 7 meses e 6 dias produz um montante de R$ 50.825,00?

Exercício 3
Taxa	?
Capital	1750
Montante	50825
Tempo	3,6
Txa	7,789682540

 

3 anos 7 meses = 36 meses + 7 meses = 43 * 30 dias = 1290

6 dias

soma = 1290 + 6 dias = 1296 dias

n = 1296/360(dias) = 3,6

i = ((M/C)-1)/n

i = ((50825/1750)-1)/3,6

i = 7,789682540

4. Em quanto tempo, um capital de R$ 2.340,00 triplica seu valor se aplicado a uma taxa de 2,5% ao mês?

Exercicio 4
Capital	2340
Montante	7020
Taxa	0,0250
Tempo	?
Tempo	80

Taxa = 2,5% mês

Taxa = 2,5/100 = 0,025

Montante = Triplo do capital

Montante = 2340 * 3 = 7020

n = ((M/C)-1)/i

n = ((7020/2340)-1)/0,025

n = 80 meses

5. Qual o juro obtido através de uma aplicação de R$ 2.500,00 a 62% ao ano durante 4 meses.

Exercício 5
Juro	?
Capital	2500
Tempo	4
Taxa	0,051666667
Juro	516,666666700

Taxa = 62% ano

Taxa = 62/12 meses = 5,1666667/100 = 0,051666667

J = C*i*n

J = 2500*4*0,051666667

J = 516,6666667

JUROS SIMPLES

Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples. Mas vamos entender como funcionava a capitalização no sistema de juros simples.

No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:

J = C * i * t, onde

J = juros
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)

M = C + J

M = montante final
C = capital
J = juros

Exemplo 1

Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses?

Capital: 1200
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.)
t = 10 meses

J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 10
J = 240

M = C + j
M = 1200 + 240
M = 1440

O montante produzido será de R$ 1.440,00.

Exemplo 2

Vamos construir uma planilha especificando passo a passo a aplicação de um capital durante o período estabelecido inicialmente.

Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros mensais de 3% ao mês durante 12 meses. Determine o valor dos juros produzidos e do montante final da aplicação.



O montante final foi equivalente a R$ 6.800,00, e os juros produzidos foram iguais a R$ 1.800,00.


Exemplo 3

Determine o valor do capital que aplicado durante 14 meses, a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.

J = C * i * t
2688 = C * 0,06 * 14
2688 = C * 0,84
C = 2688 / 0,84
C = 3200

O valor do capital é de R$ 3.200,00.


Exemplo 4

Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 3.000,00 de juros em 45 dias?

J = 3000
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015
t = 45 dias = 45/30 = 1,5

J = C * i * t
3000 = C * 0,015 * 1,5
3000 = C * 0,0225
C = 3000 / 0,0225
C = 133.333,33

O capital é de R$ 133.333,33.

Exemplo 5

Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre?

J = C * i * t
90 = C * 0,02 * 3
90 = C * 0,06
C = 90 / 0,06
C = 1500

O capital corresponde a R$ 1.500,00.


Exemplo 6

Qual o tempo de aplicação para que um capital dobre, considerando uma taxa mensal de juros de 2% ao mês, no regime de capitalização simples?

M = C * [1 + (i *t)]
2C = C * [1 + (0,02 * t)]
2C = C * 1 + 0,02t
2C/C = 1 + 0,02t
2 = 1 + 0,02t
2 – 1 = 0,02t
1 = 0,02t
t = 1 / 0,02
t = 50

O tempo para que o capital aplicado a uma taxa mensal de 2% dobre é de 50 meses.